三角形中线公式推导（初中几何补充内容：中线长定理）
2024-11-03 09:06:40
一、什么是中线长定理？
如图，AD是△ABC中BC边上的中线，则
AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)=2(AD^2+CD^2)
二、中线长定理的证明
分析：看到平方，容易想到勾股定理，要用勾股定理，则需构造直角三角形，故想到过点A作BC边上的高，构造直角三角形后，运用勾股定理求解。
证明：过点A作AE⊥BC于点E
∵AD是△ABC中BC边上的中线
∴BD=CD
在RT△ADE中，由勾股定理，得
AE^2+DE^2=AD^2
在RT△ABE中，由勾股定理，得
AB^2=AE^2+(BD+DE)^2
=AE^2+BD^2+DE^2+2BD·DE
=AD^2+BD^2+2BD·DE
在RT△ACE中，由勾股定理，得
AC^2=AE^2+(CD-DE)^2
=AE^2+CD^2+DE^2-2BD·DE
=AD^2+BD^2-2BD·DE
∴AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)=2(AD^2+CD^2)
三、小结
1、中线长定理提供了一种快速求中线长的方法，在某些填空压轴题中可以快速得到答案；
2、中线长定理可由勾股定理证明，构造直角三角形最常用的方法就是作高；
3、定理结论不建议死记硬背，多推导几遍就可以烂熟于胸。